Determine se os conjuntos
dados abaixo são subespaços de
:
e
Passo 1
O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto
é subespaço de
O conteúdo aqui é “subespaço vetorial” e vamos precisar usar os três testes: conter o vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação do vetor zero: O zero de
é
. Substituindo na condição de
temos
que é verdade. Logo,
.
Passo 3
Fechamento sob soma e multiplicação escalar:
- Soma: Tomemos
e em . Então
A soma é
e
logo a soma também satisfaz a condição e pertence a
.
- Multiplicação escalar: Para um escalar
e com , temos
e
então
também está em
.
Passo 4
Forma paramétrica e base de
: Qualquer
satisfaz
, então
Isso mostra que
o que reforça que
é um subespaço de
(é gerado por vetores em
).
Resposta
O conjunto W é subespaço vetorial de
.