Determine se os conjuntos dados abaixo são subespaços de :
e

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto
W=(x,y,z)inR^3mid z=-2y
é subespaço de
V=R^3.
O conteúdo aqui é “subespaço vetorial” e vamos precisar usar os três testes: conter o vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero: O zero de R^3 é (0,0,0). Substituindo na condição de W temos
0 = -2cdot 0
que é verdade. Logo, (0,0,0)in W.

Passo 3

Fechamento sob soma e multiplicação escalar:
  1. Soma: Tomemos (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em W. Então
z1 = -2y1, z2 = -2y2
A soma é
(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
z1+z2 = -2y1 + (-2y2) = -2(y1+y2),
logo a soma também satisfaz a condição e pertence a W.
  1. Multiplicação escalar: Para um escalar alphainR e (x,y,z)in W com z=-2y, temos
alpha(x,y,z) = (alpha x,alpha y,alpha z)
e
alpha z = alpha(-2y) = -2(alpha y),
então alpha(x,y,z) também está em W.

Passo 4

Forma paramétrica e base de W: Qualquer (x,y,z)in W satisfaz z=-2y, então
(x,y,z) = (x,y,-2y) = x,(1,0,0) + y,(0,1,-2)
Isso mostra que
W = span(1,0,0),,(0,1,-2),
o que reforça que W é um subespaço de R^3 (é gerado por vetores em R^3).

Resposta

O conjunto W é subespaço vetorial de R^3.

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