Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para . Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram ou . Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede pra ver se o conjunto
vec v1=100, vec v2=110, vec v3=111
é uma base de R^3.
Matéria: Álgebra Linear – definição de base, independência linear e geração.
Para resolver precisamos:
Verificar independência linear (saber se só a combinação trivial dá zero).
Verificar geração (mostrar que qualquer (x,y,z) é combinação desses vetores).
Passo 2
Independência linear: suponha
a,vec v1 + b,vec v2 + c,vec v3 = vec 0
Isso dá o sistema
a + b + c = 0, ;0 + b + c = 0, ;0 + 0 + c = 0
Da última equação vem c=0.
Da segunda, b+0=0implies b=0.
Da primeira, a+0+0=0implies a=0.
Só existe a solução trivial (a,b,c)=(0,0,0), logo são linearmente independentes.
Passo 3
Geração de [\mathbb{R}^3): seja um vetor genérico . Queremos achar tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Daqui , e finalmente .
Como conseguimos expressar qualquer , eles geram todo .
Resposta
O conjunto vec v1,vec v2,vec v3 é linearmente independente e gera R^3, portanto forma uma base de R^3,.