Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para R^3. Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram R^2 ou R^3. Justifique suas respostas.
[l1 0 0],[l1 1 0],[l1 1 1]

Passo 1

O enunciado pede pra ver se o conjunto
vec v1=100, vec v2=110, vec v3=111
é uma base de R^3.
Matéria: Álgebra Linear – definição de base, independência linear e geração.
Para resolver precisamos:
  1. Verificar independência linear (saber se só a combinação trivial dá zero).
  2. Verificar geração (mostrar que qualquer (x,y,z) é combinação desses vetores).

Passo 2

Independência linear: suponha
a,vec v1 + b,vec v2 + c,vec v3 = vec 0
Isso dá o sistema
a + b + c = 0, ;0 + b + c = 0, ;0 + 0 + c = 0
Da última equação vem c=0.
Da segunda, b+0=0implies b=0.
Da primeira, a+0+0=0implies a=0.
Só existe a solução trivial (a,b,c)=(0,0,0), logo são linearmente independentes.

Passo 3

Geração de [\mathbb{R}^3): seja um vetor genérico . Queremos achar tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Daqui , e finalmente .
Como conseguimos expressar qualquer , eles geram todo .

Resposta

O conjunto vec v1,vec v2,vec v3 é linearmente independente e gera R^3, portanto forma uma base de R^3,.

Exercícios relacionados