Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para . Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram ou . Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra gente analisar o conjunto
S = l 101,; 000,; 010 r
em R^3. O conteúdo é bases de espaços vetoriais, independência linear e geração (span). Para resolver vamos precisar:
a definição de base (vetores LI que geram o espaço),
entender o que é vetor zero pra ver dependência linear,
calcular span para ver que dimensão geramos.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma base de R^3 precisa de exatamente 3 vetores LINDEPeNDENTES e que gerem todo R^3. No nosso conjunto tem o vetor nulo 000.
Qualquer conjunto que inclui o vetor zero é automaticamente linearmente dependente, porque basta usar
1cdot 0 + 0cdot v1 + 0cdot v2 = 0
para ter uma combinação não-trivial que dá zero. Logo, S não pode ser base de R^3.
Passo 3
Mesmo não sendo base, vamos ver que parte dele é independente. Se a gente tirar o vetor zero, sobra
Só a solução trivial (a,b)=(0,0). Logo v1 e v2 são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, o span de é o mesmo do par . Ou seja,
Esse é um plano em , ou seja, um subespaço de dimensão 2 (isomorfo a ), mas não ocupa todo .
Resposta
O conjunto não é base de R^3 (há o vetor zero → dependência). Os vetores não nulos formam um conjunto linearmente independente de dois elementos, e o span deles é um plano (subespaço de dimensão 2), i.e.\ geram algo isomorfo a R^2, mas não todo R^3.