Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matrizes: operações e propriedades.
a) Qual a escrita geral de uma matriz ?
b) Quando que duas matrizes são iguais?
c) Quem são as matrizes nulas? E a matriz identidade? Qual a importância destas matrizes nesta teoria?
d) Como operar com matrizes? Explique a adição, subtração, multiplicação por um escalar, multiplicação entre matrizes e matriz transposta.
e) O que duas matrizes devem satisfazer para que sua multiplicação esteja definida?
f) Dê seis exemplos de propriedades de matrizes.
g) Matrizes sempre comutam? Se não, dê um exemplo de matrizes que não comutam. Existem matrizes que comutam? Se houver, dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede respostas conceituais sobre matrizes:
– (a) escrever a forma geral de uma matriz ,
– (b) definir igualdade de matrizes,
– (c) identificar a matriz nula e a matriz identidade e sua importância,
– (d) explicar as operações (adição, subtração, multiplicação por escalar, produto de matrizes e transposta),
– (e) condição para que o produto de duas matrizes esteja definido,
– (f) listar seis propriedades algébricas das matrizes,
– (g) discutir comutatividade: dar exemplo de matrizes que não comutam e de matrizes que comutam.
Passo 2
Para (a), uma matriz de ordem é o conjunto de linhas e colunas cujos elementos são . Formalmente:
Passo 3
Para (b), duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm as mesmas dimensões mtimes n e
Aij=Bij para todo i=1,dots,m,;j=1,dots,n
Passo 4
Para (c),
– A matriz nula de ordem mtimes n, denotada 0mtimes n, tem todos os elementos iguais a zero.
– A matriz identidade de ordem n, denotada In, tem Iii=1 na diagonal principal e zeros fora dela.
Importância: 0 é o elemento neutro para adição (A+0=A) e I é o neutro para multiplicação (IA=AI=A), fundamentando estruturas algébricas (grupos abelianos sob adição e monoides sob multiplicação).
Passo 5
Para (d), as operações são definidas assim:
– Adição e subtração
(Apm B)ij=Aijpm Bij
– Multiplicação por escalar
(lambda A)ij=lambda,Aij
– Produto de matrizes (se A é mtimes p e B é ptimes n)
(AB)ij=sumk=1^pAik,Bkj
– Transposta
(A^T)ij=Aji
Passo 6
Para (e), o produto AB está definido somente se o número de colunas de A (digamos p) coincidir com o número de linhas de B. Ou seja, A é mtimes p e B é ptimes n.
Passo 7
Para (f), seis propriedades algébricas importantes são:
Comutatividade da adição: A+B = B+A
Associatividade da adição: (A+B)+C = A+(B+C)
Existência do neutro aditivo: A + 0 = A
Existência de inverso aditivo: A + (-A) = 0
Distributividade do produto sobre a soma: A(B+C)=AB+AC
Associatividade do produto: A(BC)=(AB)C
Passo 8
Para (g), em geral não há comutatividade do produto matricial. Exemplo de duas matrizes 2times2 que não comutam:
A=0 & 10 & 0, B=0 & 01 & 0,
AB=1 & 00 & 0, BA=0 & 00 & 1,
logo ABneq BA.
Existem, porém, matrizes que comutam. Por exemplo, duas matrizes diagonais de mesma ordem:
A=1 & 00 & 2, B=3 & 00 & 4,
nesse caso AB=BA.
Resposta
a) (\displaystyle A=(a_{ij})_{1\le i\le m,;1\le j\le n}
A=(aij)1<= i<= m,;1<= j<= n = a11&a12&dots&a1n a21&a22&dots&a2n vdots&vdots&ddots&vdots am1&am2&dots&amn .)
b) Duas matrizes são iguais se têm as mesmas dimensões e Aij=Bij para todo i,j.
c) A matriz nula 0mtimes n tem todos os elementos zero. A identidade In tem 1 na diagonal principal e 0 fora dela. A nula é neutro aditivo e a identidade é neutro multiplicativo.
d)
– (Apm B)ij=Aijpm Bij.
– (lambda A)ij=lambda,Aij.
– (AB)ij=sumk=1^pAikBkj, se A é mtimes p e B é ptimes n.
– (A^T)ij=Aji.
e) O número de colunas de A deve igualar o número de linhas de B.
f) Seis propriedades:
A+B=B+A.
(A+B)+C=A+(B+C).
A+0=A.
A+(-A)=0.
A(B+C)=AB+AC.
A(BC)=(AB)C.
g) Em geral ABneq BA. Exemplo de não comutação: