Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para R^3. Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram R^2 ou R^3. Justifique suas respostas.
[r1 0 -2],[r3 2 -4],[r-3 -5 1]

Passo 1

Então, neste exercício a gente tem os vetores
v1=10-2, v2=32-4, v3=-3-51
e precisa ver se eles formam uma base de R^3. Lembra: base significa conjunto linearmente independente (LI) que gera todo o espaço. Vamos usar a definição de LI, geração de espaço e o cálculo de determinante 3×3.

Passo 2

Pra testar independência, monto a matriz A=[v1 v2 v3] e calculo
A= 1 & 3 & -3 0 & 2 & -5 -2 & -4 & 1 , det(A)=12 & -5-4 & 1 -30 & -5-2 & 1 +(-3)0 & 2-2 & -4
Agora os menores:
2 & -5-4 & 1=2cdot1-(-5)cdot(-4)=2-20=-18, 0 & -5-2 & 1=0cdot1-(-5)cdot(-2)=0-10=-10,
0 & 2-2 & -4=0cdot(-4)-2cdot(-2)=0+4=4
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det(A)=1cdot(-18)-3cdot(-10)+(-3)cdot4=-18+30-12=0

Passo 3

Como det(A)=0, concluímos que v1,v2,v3 são linearmente dependentes. Portanto, não formam base de R^3 (por falta de independência).

Passo 4

Mesmo assim, nenhum vetor é múltiplo exato de outro (por exemplo, não existe escalar k tal que (3,2,-4)=k(1,0,-2)), então há pares independentes. Isso implica que o espaço gerado por v1,v2,v3 tem dimensão 2, ou seja, é um plano em R^3 (isomorfo a R^2), mas não o R^3 inteiro.

Resposta

O conjunto não é base de R^3; é linearmente dependente e gera um subespaço de dimensão 2 (um plano, isomorfo a R^2), não todo R^3.

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