Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para . Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram ou . Justifique suas respostas.
Passo 1
Então, neste exercício a gente tem os vetores
v1=10-2, v2=32-4, v3=-3-51
e precisa ver se eles formam uma base de R^3. Lembra: base significa conjunto linearmente independente (LI) que gera todo o espaço. Vamos usar a definição de LI, geração de espaço e o cálculo de determinante 3×3.
Passo 2
Pra testar independência, monto a matriz A=[v1 v2 v3] e calculo
Como det(A)=0, concluímos que v1,v2,v3 são linearmente dependentes. Portanto, não formam base de R^3 (por falta de independência).
Passo 4
Mesmo assim, nenhum vetor é múltiplo exato de outro (por exemplo, não existe escalar k tal que (3,2,-4)=k(1,0,-2)), então há pares independentes. Isso implica que o espaço gerado por v1,v2,v3 tem dimensão 2, ou seja, é um plano em R^3 (isomorfo a R^2), mas não o R^3 inteiro.
Resposta
O conjunto não é base de R^3; é linearmente dependente e gera um subespaço de dimensão 2 (um plano, isomorfo a R^2), não todo R^3.