Determine a projeção ortogonal do ponto P(-7,15) sobre a reta r: x=2 t, y=3 t.

Passo 1

A gente quer projetar o ponto P(-7,15) na reta r definida pelas equações paramétricas x=2t, y=3t. O conteúdo é projeção ortogonal de ponto em reta e vamos precisar usar produto escalar.

Passo 2

A reta passa pela origem e tem vetor direção vec v=(2,3). Como ela passa pela origem, o vetor que leva a P é OP=(-7,15).

Passo 3

A teoria diz que a projeção ortogonal de um vetor u sobre outro vec v é dada por
projvec v,u=ucdotvec vvec vcdotvec v,vec v
Nesse caso u=OP.

Passo 4

Vamos calcular os produtos escalares:
OPcdotvec v = (-7)cdot2 + 15cdot3 = -14 + 45 = 31
vec vcdotvec v = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13

Passo 5

O coeficiente escalar é 31/13. Multiplicando em vec v a gente obtém:
3113(2,3)=l(tfrac6213,tfrac9313r)
Esse vetor dá a posição do ponto projetado sobre a reta.

Resposta

(62/13, 93/13)

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