Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para R^3. Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram R^2 ou R^3. Justifique suas respostas.
[r2 -2 1],[r1 -3 2],[r-7 5 4]

Passo 1

Temos três vetores em R^3:
v1 = 2-21, v2 = 1-32, v3 = -754
Para que v1,v2,v3 seja uma base de R^3, esses vetores devem ser linearmente independentes (LI) e, como há três vetores em R^3, isso já garante que gerem R^3.

Passo 2

Colocamos v1,v2,v3 como colunas de uma matriz M e calculamos seu determinante:
M = 2 & 1 & -7 -2 & -3 & 5 1 & 2 & 4
Então
det(M) = 2-3 & 5 2 & 4 -1-2 & 5 1 & 4 +(-7)-2 & -3 1 & 2

Passo 3

Calculando os menores:
-3 & 5 2 & 4 =(-3)cdot4 - 5cdot2 = -12 -10 = -22,
-2 & 5 1 & 4 =(-2)cdot4 - 5cdot1 = -8 -5 = -13,
-2 & -3 1 & 2 =(-2)cdot2 -(-3)cdot1 = -4 +3 = -1
Logo,
det(M) = 2cdot(-22) ;-;1cdot(-13);+;(-7)cdot(-1) = -44 +13 +7 = -24 neq 0
Como det(M)neq0, os vetores são linearmente independentes e, por serem três em R^3, também geram todo R^3.

Resposta

O conjunto v1,v2,v3 é base de R^3.

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