Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para R^3. Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram R^2 ou R^3. Justifique suas respostas.
[r1 -3 0],[r-2 9 0],[l0 0 0],[r0 -3 5]

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S=v1,v2,v3,v4subsetR^3,
com
v1=1-30, v2=-290, v3=000, v4=0-35
Queremos ver se S é base de R^3. Lembrando que uma base deve ser linearmente independente e gerar todo R^3.

Passo 2

Note que v3=(0,0,0) é o vetor zero. Qualquer conjunto que contenha o vetor zero é automaticamente linearmente dependente, pois lambdacdot v3=0 vale para lambdaneq0. Logo
S não é linearmente independenteLongrightarrow S não é base de R^3 ãéãé

Passo 3

Para entender melhor a dependência, vejamos as relações entre os vetores não nulos. Observamos que
v2=(-2,9,0)=-2,(1,-3,0)=-2,v1,
ou seja, v1 e v2 são colineares. Já v4=(0,-3,5) não é múltiplo de v1. Portanto:
  • Qualquer par v1,v2 é dependente (colineares).
  • Qualquer subconjunto que contenha v3 é dependente.
  • Os pares v1,v4 e v2,v4 são linearmente independentes.

Passo 4

O posto (rank) de é 2, pois há exatamente dois vetores independentes (por exemplo e ). Assim
logo o subespaço gerado é um plano em , isomorfo a . Em particular, nenhum subconjunto de gera todo .

Passo 5

Resumindo:
  • S não é base de R^3 (contem vetor zero e vetores colineares).
  • Os maiores subconjuntos linearmente independentes são v1,v4 e v2,v4.
  • Esses subconjuntos geram um subespaço de dimensão 2 — isto é, um plano ( simeqR^2).
  • Não existe subconjunto de S que gere R^3.

Resposta

O conjunto S não forma base de R^3.
As únicas combinações linearmente independentes de tamanho maximal são
v1,v4 e v2,v4, e cada uma gera um plano em R^3 (isto é, um subespaço de dimensão 2, isomorfo a R^2).

Exercícios relacionados