Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para . Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram ou . Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
S=v1,v2,v3,v4subsetR^3,
com
v1=1-30, v2=-290, v3=000, v4=0-35
Queremos ver se S é base de R^3. Lembrando que uma base deve ser linearmente independente e gerar todo R^3.
Passo 2
Note que v3=(0,0,0) é o vetor zero. Qualquer conjunto que contenha o vetor zero é automaticamente linearmente dependente, poislambdacdot v3=0 vale para lambdaneq0. Logo
S não é linearmente independenteLongrightarrow S não é base de R^3 ãéãé
Passo 3
Para entender melhor a dependência, vejamos as relações entre os vetores não nulos. Observamos que
v2=(-2,9,0)=-2,(1,-3,0)=-2,v1,
ou seja, v1 e v2 são colineares. Já v4=(0,-3,5) não é múltiplo de v1. Portanto:
Qualquer par v1,v2 é dependente (colineares).
Qualquer subconjunto que contenha v3 é dependente.
Os pares v1,v4 e v2,v4 são linearmente independentes.
Passo 4
O posto (rank) de é 2, pois há exatamente dois vetores independentes (por exemplo e ). Assim
logo o subespaço gerado é um plano em , isomorfo a . Em particular, nenhum subconjunto de gera todo .
Passo 5
Resumindo:
S não é base de R^3 (contem vetor zero e vetores colineares).
Os maiores subconjuntos linearmente independentes são v1,v4 e v2,v4.
Esses subconjuntos geram um subespaço de dimensão 2 — isto é, um plano (simeqR^2).
Não existe subconjunto de S que gere R^3.
Resposta
O conjunto S não forma base de R^3.
As únicas combinações linearmente independentes de tamanho maximal são v1,v4 e v2,v4, e cada uma gera um plano em R^3 (isto é, um subespaço de dimensão 2, isomorfo a R^2).