Determine a reta
, simétrica de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a reta s, que é o reflexo da reta r: x–y+1=0 em relação à reta t: 2x+y+4=0. O conteúdo aqui é geometria analítica, mais especificamente reflexão de pontos e retas sobre uma reta dada. Vamos precisar usar a fórmula de reflexão de um ponto qualquer em torno de uma reta e depois montar a equação da reta que passa pelos pontos refletidos.
Passo 2
Para aplicar a reflexão, escolhemos dois pontos fáceis sobre r. Como r é x–y+1=0 ⇒ y=x+1, tomamos P(0,1) e Q(–1,0).
Passo 3
A teoria de reflexão diz que o ponto (x₀,y₀) refletido na reta ax+by+c=0 gera um ponto (x′,y′) dado por:
Passo 4
Aqui a=2, b=1, c=4.
Passo 5
Para P(0,1) calculamos d = a·0 + b·1 + c = 5, e a²+b²=5. Logo
Passo 6
Assim P′ = (–4,–1).
Passo 7
Para Q(–1,0) temos d = 2·(–1)+1·0+4 = 2 e a²+b²=5. Então
Passo 8
Logo Q′ = (–13/5, –4/5).
Passo 9
Agora basta achar a reta que passa por P′ e Q′. O coeficiente angular é
Passo 10
Usando o ponto P′,
Passo 11
Multiplicando por 7 e rearranjando chega-se a
Passo 12
Resposta
A reta simétrica é s: ;x - 7y - 3 = 0.