Determine a reta s, simétrica de r: x-y+1=0 em relação a t: 2 x+y+4=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar a reta s, que é o reflexo da reta r: x–y+1=0 em relação à reta t: 2x+y+4=0. O conteúdo aqui é geometria analítica, mais especificamente reflexão de pontos e retas sobre uma reta dada. Vamos precisar usar a fórmula de reflexão de um ponto qualquer em torno de uma reta e depois montar a equação da reta que passa pelos pontos refletidos.

Passo 2

Para aplicar a reflexão, escolhemos dois pontos fáceis sobre r. Como r é x–y+1=0 ⇒ y=x+1, tomamos P(0,1) e Q(–1,0).

Passo 3

A teoria de reflexão diz que o ponto (x₀,y₀) refletido na reta ax+by+c=0 gera um ponto (x′,y′) dado por:

Passo 4

x' = x0 - 2a a x0 + b y0 + ca^2 + b^2,
y' = y0 - 2b a x0 + b y0 + ca^2 + b^2
Aqui a=2, b=1, c=4.

Passo 5

Para P(0,1) calculamos d = a·0 + b·1 + c = 5, e a²+b²=5. Logo

Passo 6

x'P = 0 - 2·2·55 = -4,
y'P = 1 - 2·1·55 = -1
Assim P′ = (–4,–1).

Passo 7

Para Q(–1,0) temos d = 2·(–1)+1·0+4 = 2 e a²+b²=5. Então

Passo 8

x'Q = -1 - 2·2·25 = -1 - 85 = -135,
y'Q = 0 - 2·1·25 = -45
Logo Q′ = (–13/5, –4/5).

Passo 9

Agora basta achar a reta que passa por P′ e Q′. O coeficiente angular é

Passo 10

m = -4/5 - (-1)-13/5 - (-4) = 1/57/5 = 17
Usando o ponto P′,

Passo 11

y + 1 = 17(x + 4)
Multiplicando por 7 e rearranjando chega-se a

Passo 12

x - 7y - 3 = 0

Resposta

A reta simétrica é s: ;x - 7y - 3 = 0.

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