Determine quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 8 formam bases para R^3. Dos conjuntos que não são bases, determine quais são linearmente independentes e quais geram R^2 ou R^3. Justifique suas respostas.
[r1 2 -3],[r-4 -5 6]

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
v1=12-3, v2=-4-56
e pede para decidir se ele é base de R^3. Lembrando que uma base de R^3 precisa de exatamente três vetores que sejam linearmente independentes e cuja combinação gera todo o espaço.

Passo 2

Como aqui só temos dois vetores, eles não podem gerar R^3 (faltaria um vetor para alcançar dimensão 3). Logo, não formam base de R^3.

Passo 3

Vamos verificar se são linearmente independentes. Basta checar se um é múltiplo escalar do outro. Se existisse lambda tal que v1=lambda,v2, teríamos
lambda = 1-4 = -tfrac14, lambda = 2-5 = -tfrac25, lambda = -36 = -tfrac12
Como esses valores são diferentes, não há lambda comum. Portanto v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 4

Dois vetores l.i. em R^3 geram um subespaço de dimensão 2, isto é, um plano. Em outras palavras, spanv1,v2 é isomorfo a R^2, mas não a R^3.

Resposta

O conjunto não é base de R^3. Ele é linearmente independente e gera um subespaço de dimensão 2 (um plano, isomorfo a R^2).

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