Determine se os conjuntos são ou não espaços vetoriais
V=R^2 com as operações
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1-y1, x2-y2) e lambda(x1, x2)=(-lambda x1,-lambda x2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto V = R^2 , com operações específicas de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se essas operações os satisfazem. Basicamente, precisamos checar coisas como se existe um elemento neutro, se a adição é comutativa, se a multiplicação por escalar funciona direitinho, entre outros pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na adição definida no problema:
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 - y1, x2 - y2)
E na multiplicação por escalar:
lambda(x1, x2) = (-lambda x1, -lambda x2)
Precisamos verificar se essas operações obedecem aos axiomas de um espaço vetorial. Vamos começar checando se existe um elemento neutro para a adição.

Passo 3

O elemento neutro na adição deve ser um vetor 0 = (0, 0) tal que, para qualquer vetor v = (x1, x2) em V :
v + 0 = (x1 - 0, x2 - 0) = (x1, x2)
Então, parece que (0, 0) atua como o elemento neutro nessa adição. Legal, um passo bom!

Passo 4

Agora, vamos verificar se a adição é comutativa, ou seja, se para quaisquer vetores u = (x1, x2) e v = (y1, y2) :
u + v = v + u
Calculando:
u + v = (x1 - y1, x2 - y2)
v + u = (y1 - x1, y2 - x2)
A não ser que x1 = y1 e x2 = y2 , que geralmente não é o caso, u + v neq v + u . Ou seja, a adição não é comutativa.

Passo 5

Como a comutatividade da adição é um dos axiomas fundamentais para um conjunto ser considerado um espaço vetorial, e nós já vimos que isso não se verifica com as operações dadas, já podemos concluir que V = R^2 com essas operações não é um espaço vetorial. Não precisamos nem verificar os outros axiomas, já que falhamos em um deles.

Resposta

Não, o conjunto V = R^2 com as operações definidas não constitui um espaço vetorial.

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