Determine se os conjuntos são ou não espaços vetoriais
com as operações
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
, com operações específicas de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se essas operações os satisfazem. Basicamente, precisamos checar coisas como se existe um elemento neutro, se a adição é comutativa, se a multiplicação por escalar funciona direitinho, entre outros pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na adição definida no problema:
E na multiplicação por escalar:
Precisamos verificar se essas operações obedecem aos axiomas de um espaço vetorial. Vamos começar checando se existe um elemento neutro para a adição.
Passo 3
O elemento neutro na adição deve ser um vetor
tal que, para qualquer vetor
em
:
Então, parece que
atua como o elemento neutro nessa adição. Legal, um passo bom!
Passo 4
Agora, vamos verificar se a adição é comutativa, ou seja, se para quaisquer vetores
e
:
Calculando:
A não ser que
e
, que geralmente não é o caso,
. Ou seja, a adição não é comutativa.
Passo 5
Como a comutatividade da adição é um dos axiomas fundamentais para um conjunto ser considerado um espaço vetorial, e nós já vimos que isso não se verifica com as operações dadas, já podemos concluir que
com essas operações não é um espaço vetorial. Não precisamos nem verificar os outros axiomas, já que falhamos em um deles.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações definidas não constitui um espaço vetorial.