Identifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.
O conjunto das matrizes nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão de álgebra linear aqui. O exercício pede para a gente identificar se um certo conjunto de matrizes é um subespaço vetorial. Mais especificamente, estamos olhando para o conjunto das matrizes onde em pelo menos uma coluna, os dois elementos são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que um conjunto precisa cumprir para ser considerado como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que satisfaz três condições principais:
Contém o vetor nulo: No caso das matrizes, isso significa que a matriz zero deve estar no conjunto.
Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes qualquer do conjunto e somarmos elas, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer matriz do conjunto por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Contém o vetor nulo: A matriz zero tem todos os elementos iguais a zero. Visto que em cada coluna os elementos são iguais (ambos são zero), essa matriz está no conjunto. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechamento sob adição: Vamos considerar duas matrizes do conjunto. Suponha que na primeira matriz, na primeira coluna, os elementos sejam iguais, e na segunda matriz, na segunda coluna, os elementos sejam iguais. Quando somamos essas duas matrizes, a soma pode resultar em uma matriz onde nenhuma coluna tem elementos iguais. Por exemplo:
A soma A + B seria:
A + B = 7 & 9 & 11 10 & 11 & 15
Aqui, nenhuma coluna tem elementos iguais. Portanto, a soma de duas matrizes do conjunto nem sempre está no conjunto. Isso viola a condição de fechamento sob adição.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Mesmo que já não tenhamos fechado sob adição, vamos verificar essa condição. Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um escalar, os elementos igualizados na coluna continuarão iguais após a multiplicação. Por exemplo, multiplicando a matriz A por 2:
2A = 2 & 4 & 6 2 & 8 & 10
Nesta nova matriz, a primeira coluna ainda tem elementos iguais. Portanto, a multiplicação por escalar mantém a condição.
Resposta
Como o conjunto não cumpre a condição de fechamento sob adição, ele não é um subespaço vetorial.