Identifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.
O conjunto F subset F(R ; R) formado pelas funções f: R longrightarrow R tais que f(x+1)=f(x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
F = f:RtoRmid f(x+1)=f(x) para todo xinR
é um subespaço vetorial de F(R;R). Para isso vamos usar o critério de subespaço: mostrar que o vetor zero está em F, que F é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero, 0(x)=0 para todo x, pertence a F, pois
0(x+1)=0 = 0(x)
Logo, o vetor zero de F(R;R) está em F.

Passo 3

Mostramos que F é fechado sob soma. Se f e g estão em F, então para todo x
(f+g)(x+1) = f(x+1) + g(x+1) = f(x) + g(x) = (f+g)(x),
logo f+gin F.

Passo 4

Mostramos que F é fechado sob multiplicação escalar. Se fin F e alphainR, então para todo x
(alpha f)(x+1) = alpha,f(x+1) = alpha,f(x) = (alpha f)(x),
logo alpha fin F.

Resposta

O conjunto F é um subespaço vetorial de F(R;R).

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