Determine quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Justifique sua resposta.
x+2 x, x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
,x+2x,;x^2-1
é gerador de P2, o espaço dos polinômios de grau <=2.

Passo 2

Lembrando que P2 tem dimensão 3, qualquer conjunto gerador de P2 deve ter, no mínimo, 3 polinômios. Aqui temos apenas 2 elementos, portanto já não é possível gerar todo o espaço.

Passo 3

Para ver concretamente que esses 2 polinômios não geram P2, note que x+2x=3x. Então combinações lineares deles são
a,(3x)+b,(x^2-1) =b,x^2 + 3a,x - b
Um polinômio genérico em P2 é
alpha x^2+beta x+gamma.
Comparando coeficientes, teríamos
b=alpha, 3a=beta, -b=gamma,
isto é, gamma=-alpha. Nem todo alpha,beta,gamma satisfaz gamma=-alpha, logo não se obtém todo P2.

Resposta

O conjunto x+2x,;x^2-1 não é gerador de P2.

Exercícios relacionados