Determine quais dos conjuntos de vetores são ortonormais, se um conjunto for apenas ortogonal, normalize os vetores para obter um conjunto ortonormal.
u=(1 / 3,1 / 3,1 / 3) e v=(-1 / 2,0,1 / 2)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3:
u=l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r) e v=l(-tfrac12,0,tfrac12r)
Precisamos verificar se o conjunto u,v é ortonormal, ou ao menos ortogonal, e caso não seja ortonormal, normalizar os vetores.

Passo 2

Para saber se são ortogonais, calculamos o produto escalar
lang<= u,vrang<= =13l(-12r) +13cdot0 +13l(12r) =-16+16=0
Como lang<= u,vrang<==0, concluímos que u e v são ortogonais.

Passo 3

Agora as normas:
|u|^2 =l(13r)^2+l(13r)^2+l(13r)^2 =3cdot19=13, |u|=1raiz3,
|v|^2 =l(-12r)^2+0^2+l(12r)^2 =2cdot14=12, |v|=1raiz2

Passo 4

Como |u|neq1 e |v|neq1, o conjunto é apenas ortogonal, não ortonormal. Para torná-lo ortonormal, dividimos cada vetor pela sua norma.

Passo 5

Normalizando:
e1=u|u|=raiz3l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r) =l(tfracraiz33,tfracraiz33,tfracraiz33r),
e2=v|v|=raiz2l(-tfrac12,0,tfrac12r) =l(-tfracraiz22,0,tfracraiz22r)
Verifica-se facilmente que |e1|=|e2|=1 e lang<= e1,e2rang<==0.

Resposta

O conjunto u,v é ortogonal mas não ortonormal. Uma escolha de base ortonormal é
l,l(tfracraiz33,tfracraiz33,tfracraiz33r), ;(-tfracraiz22,0,tfracraiz22)r

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