Determine quais dos conjuntos de vetores são ortonormais, se um conjunto for apenas ortogonal, normalize os vetores para obter um conjunto ortonormal.
u=(-2 / 3,1 / 3,2 / 3) e v=(1 / 3,2 / 3,0)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores u,v em R^3, com
u = l(-tfrac23,,tfrac13,,tfrac23r),
v = l(tfrac13,,tfrac23,,0r)
Queremos verificar se esse conjunto é ortonormal. Lembrando que
– um conjunto é ortogonal se os vetores são mutuamente perpendiculares ( lang<= u,vrang<==0),
– e é ortonormal se for ortogonal e cada vetor tiver norma 1.

Passo 2

Calculamos o produto interno lang<= u,vrang<=:
lang<= u,vrang<= = l(-tfrac23r)l(tfrac13r) + l(tfrac13r)l(tfrac23r) + l(tfrac23r)cdot 0 = -tfrac29 + tfrac29 + 0 = 0
Logo, u e v são ortogonais.

Passo 3

Agora checamos as normas:
a) Norma de u:
|u| = raizl(-tfrac23r)^2 + l(tfrac13r)^2 + l(tfrac23r)^2 = raiztfrac4+1+49 = raiz1 = 1
b) Norma de v:
|v| = raizl(tfrac13r)^2 + l(tfrac23r)^2 + 0^2 = raiztfrac1+49 = raiztfrac59 = tfracraiz53neq 1
Portanto, u já tem norma 1, mas v não.

Passo 4

Para normalizar v, dividimos por |v|=tfracraiz53. Assim,
vnorm = v|v| = l(tfrac13,,tfrac23,,0r)g/l(tfracraiz53r) = l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r)

Passo 5

Conclusão: o conjunto original u,v é apenas ortogonal, não ortonormal. O conjunto ortonormal obtido é
l,u,;vnorm,r = l, l(-tfrac23,,tfrac13,,tfrac23r), ;l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r) ,r

Resposta

O conjunto u,v é ortogonal mas não ortonormal.
A normalização de v gera o conjunto ortonormal
l,u,;vnorm,r = l, l(-tfrac23,,tfrac13,,tfrac23r), ;l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r) ,r

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