Determine quais dos conjuntos de vetores são ortonormais, se um conjunto for apenas ortogonal, normalize os vetores para obter um conjunto ortonormal.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores
em
, com
Queremos verificar se esse conjunto é ortonormal. Lembrando que
– um conjunto é ortogonal se os vetores são mutuamente perpendiculares ( ),
– e é ortonormal se for ortogonal e cada vetor tiver norma .
– um conjunto é ortogonal se os vetores são mutuamente perpendiculares (
– e é ortonormal se for ortogonal e cada vetor tiver norma
Passo 2
Calculamos o produto interno
:
Logo,
e
são ortogonais.
Passo 3
Agora checamos as normas:
a) Norma de
:
b) Norma de
:
Portanto,
já tem norma
, mas
não.
Passo 4
Para normalizar
, dividimos por
. Assim,
Passo 5
Conclusão: o conjunto original
é apenas ortogonal, não ortonormal. O conjunto ortonormal obtido é
Resposta
O conjunto
é ortogonal mas não ortonormal.
A normalização de gera o conjunto ortonormal
A normalização de