Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em x=1, sendo & Bax +b, x <= 1 & x^-1 , x>1.

Passo 1

Temos uma função por partes: f(x)=ax+b para x<=1 e f(x)=x^-1 para x>1. O objetivo é achar a e b de modo que f seja derivável em x=1. Para isso, vamos usar dois critérios: continuidade em x=1 e igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Para garantir a continuidade em x=1, igualamos os limites à esquerda e à direita: limxto1^-f(x)=acdot1+b e limxto1^+f(x)=1^-1=1. Daí vem
a+b=1

Passo 3

Para garantir a derivabilidade em x=1, igualamos as derivadas laterais. A derivada à esquerda é f'-(1)=a. A derivada à direita é a de x^-1, que é -1,x^-2, logo f'+(1)=-1. Igualando:
a=-1

Passo 4

Substituindo a=-1 na relação de continuidade a+b=1, obtemos -1)+b=1, portanto b=2.

Resposta

a = -1 e b = 2

Exercícios relacionados