Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0tan x - sin xx^3. O conteúdo principal aqui é análise de limites usando séries de Taylor (expansões em torno de zero).

Passo 2

Para aplicar Taylor, vamos lembrar a expansão de sin x até termos de ordem x^3:
sin x = x - x^36 + o(x^3)

Passo 3

Agora, a expansão de tan x até termos de ordem x^3 é:
tan x = x + x^33 + o(x^3)

Passo 4

Subtraindo as duas séries temos:
tan x - sin x = l(x + x^33 + o(x^3)r) - l(x - x^36 + o(x^3)r) = x^33 + x^36 + o(x^3) = x^32 + o(x^3)

Passo 5

Dividindo por x^3 e tomando o limite conforme xto0 obtemos:
tan x - sin xx^3 = x^32 + o(x^3)x^3 = 12 + o(1) ,xrightarrow[xto0], 12

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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