Para quaisquer dois números complexos
e
, mostre que
[
\left|z_{1}+z_{2}\right|{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|{2}=2\left(\left|z_{1}\right|{2}+\left|z_{2}\right|{2}\right) .
\left|z_{1}+z_{2}\right|{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|{2}=2\left(\left|z_{1}\right|{2}+\left|z_{2}\right|{2}\right) .
Passo 1
No enunciado, a gente precisa mostrar que
. O tema é módulo de número complexo e vamos usar a definição de módulo baseada no conjugado.
Passo 2
Para qualquer número complexo
, vale a propriedade
. É isso que vamos aplicar para expandir os quadrados dos módulos.
Passo 3
Expandindo o primeiro termo temos:
Fazendo a mesma coisa para o segundo termo:
Passo 4
Agora somamos as duas expressões. Observe que os termos mistos
z1z2 e
z2z1 se cancelam, restando
o que encerra a demonstração.