Para quaisquer dois números complexos z1 e z2, mostre que
[
\left|z_{1}+z_{2}\right|{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|{2}=2\left(\left|z_{1}\right|{2}+\left|z_{2}\right|{2}\right) .

Passo 1

No enunciado, a gente precisa mostrar que |z1+z2|^2 + |z1-z2|^2 = 2l(|z1|^2 + |z2|^2r). O tema é módulo de número complexo e vamos usar a definição de módulo baseada no conjugado.

Passo 2

Para qualquer número complexo z, vale a propriedade lvert zrvert^2 = z,z. É isso que vamos aplicar para expandir os quadrados dos módulos.

Passo 3

Expandindo o primeiro termo temos:
lvert z1 + z2rvert^2 = (z1 + z2)l(z1 + z2r) = z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2
Fazendo a mesma coisa para o segundo termo:
lvert z1 - z2rvert^2 = (z1 - z2)l(z1 - z2r) = z1z1 - z1z2 - z2z1 + z2z2

Passo 4

Agora somamos as duas expressões. Observe que os termos mistos z1z2 e z2z1 se cancelam, restando
2,z1z1 + 2,z2z2 = 2l(lvert z1rvert^2 + lvert z2rvert^2r),
o que encerra a demonstração.

Resposta

|z1+z2|^2+|z1-z2|^2=2l(|z1|^2+|z2|^2r)

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