Determine as constantes a e b que satisfazem as seguintes igualdades:
lim x +infty(raizx^2+a x+5-raizx^2-3)=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de a de modo que
limxto+inftyl(raizx^2+a x+5-raizx^2-3r)=4
O conteúdo aqui é o cálculo de limite de diferença de raízes para xto+infty. Vamos usar a técnica de racionalização, que consiste em multiplicar e dividir pela soma das duas raízes para simplificar a expressão.

Passo 2

Começamos racionalizando a diferença:
raizx^2+a x+5-raizx^2-3 = l(x^2+a x+5r)-l(x^2-3r)raizx^2+a x+5+raizx^2-3 = a x + 8raizx^2+a x+5+raizx^2-3

Passo 3

Para xto+infty, as raízes comportam-se como
raizx^2+a x+5=xraiz1+ax+5x^2 approx xl(1+a2xr) = x + a2,
raizx^2-3=xraiz1-3x^2 approx xl(1-32x^2r) = x + o(1)
Logo, o denominador da fração em Passo 2 vale
raizx^2+a x+5+raizx^2-3approx l(x+a2r)+x = 2x+a2
Portanto
raizx^2+a x+5-raizx^2-3 approx a x + 82x + tfraca2 =xl(a + 8/xr)xl(2 + tfraca2xr) ;longrightarrow; a2 quando xto+infty

Passo 4

Para que o limite valha 4, devemos ter
a2=4 Longrightarrow a=8

Resposta

a=8

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