Determine as constantes a e b que satisfazem as seguintes igualdades:
lim x pi2 a x+bcos (x)=12

Passo 1

O enunciado pede
limxtopi2a,x+bcos(x)=12
Aqui vamos usar limites que geram forma indeterminada 0/0 e aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para que o limite não seja infinito, o numerador deve anular-se em x=pi2, já que cos(x)to0. Logo exigimos
a,pi2+b=0

Passo 3

Com essa condição temos forma 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
limxtopi2a,x+bcos(x) =limxtopi2a-,sin(x) =a-,sin!l(pi2r) =-a
Como queremos que esse limite seja tfrac12, impomos
-,a=12 Longrightarrow a=-12

Passo 4

Substituindo a=-tfrac12 em api2+b=0, vem
-12cdotpi2+b=0 Longrightarrow -pi4+b=0 Longrightarrow b=pi4

Resposta

a=-12, b=pi4

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