Encontre a soma de cada uma das séries abaixo. (Dica: Quando aplicável, utilize derivação ou integração da série geométrica básica para reescrever a expressão).
sumn=1^infty n^22^n

Passo 1

O enunciado pede a soma de
sumn=1^infty n^22^n.
O truque é usar a série geométrica básica e derivá-la para aparecerem os fatores n e n^2.

Passo 2

Lembrando da série geométrica
S0(x) = sumn=1^infty x^n = x1-x
para lvert xrvert<1.
Diferenciando em x e multiplicando por x obtemos
sumn=1^infty n,x^n = x(1-x)^2

Passo 3

Diferenciando de novo em x temos
sumn=1^infty n^2,x^n-1 = 1+x(1-x)^3
e multiplicando tudo por x vem
sumn=1^infty n^2,x^n = x,(1+x)(1-x)^3

Passo 4

Basta agora substituir x = tfrac12, pois l|tfrac12r|<1. Assim,
sumn=1^infty n^22^n = tfrac12,(1+tfrac12)(1-tfrac12)^3 = tfrac12cdottfrac32(tfrac12)^3 = 6

Resposta

6

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