Determine as constantes a e b que satisfazem as seguintes igualdades:
lim x 0 raiz1+x+x^2-(1+a x)x^2=b,(a neq 0)

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos encontrar constantes a e b tais que
limxto0raiz1+x+x^2 - (1+ax)x^2 = b,
com aneq0. O que vamos usar é a expansão em série de Taylor de raiz1+u até a ordem u^2.

Passo 2

Recordamos a expansão de Taylor de raiz1+u em torno de u=0 até o termo quadrático:
raiz1+u = 1 + 12,u - 18,u^2 + O(u^3)

Passo 3

Aplicamos essa expansão com u = x + x^2. Primeiro,
u^2 = (x + x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + x^4,
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raiz1+x+x^2 =1 + 12,(x+x^2) - 18,(x^2 + 2x^3 + x^4) + O(x^3) =1 + 12x + l(tfrac12 - tfrac18r)x^2 + O(x^3) =1 + 12x + 38x^2 + O(x^3)

Passo 4

Substituímos no numerador do limite:
raiz1+x+x^2 - (1+ax) = l(1+tfrac12x+tfrac38x^2+O(x^3)r) - (1+ax) = (tfrac12 - a)x + tfrac38x^2 + O(x^3)
Assim,
raiz1+x+x^2-(1+ax)x^2 = (tfrac12 - a)x + tfrac38x^2 + O(x^3)x^2 = tfrac12 - ax + 38 + O(x)
Para que o limite seja finito, precisamos anular o termo tfractfrac12 - ax, ou seja
a = 12,
e então o valor do limite é
b = 38

Resposta

a = tfrac12, b = tfrac38

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