Determine as constantes a e b que satisfazem as seguintes igualdades:
lim x 2 a raizx-1+bx-2=3

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache constantes a e b tais que
limxto2araizx-1+bx-2=3
O conteúdo envolve cálculo de limite que, ao substituir x=2, dá forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos ( 1) exigir que o numerador zere em x=2 e ( 2) usar a Regra de L’Hôpital para encontrar a.

Passo 2

Para a fração não divergir, o numerador em x=2 tem de ser zero:
araiz2-1+b = acdot1 + b = 0 Longrightarrow b = -a

Passo 3

Com b=-a, o limite vira
limxto2al(raizx-1-1r)x-2,
ainda na forma tfrac00. Aplicamos então a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em x.

Passo 4

Derivada do numerador:
ddxl[a,l(raizx-1-1r)r] = acdot12raizx-1
Derivada do denominador ddx(x-2)=1. Logo, pelo L’Hôpital,
limxto2al(raizx-1-1r)x-2 = limxto2a2raizx-1 = a2cdot1 = a2

Passo 5

Precisamos que esse resultado seja 3, ou seja
a2 = 3 Longrightarrow a = 6
E já tínhamos b=-a, então
b = -6

Resposta

a = 6 e b = -6.

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