Resolver a equação de Bernoulli d yd x-y=x raizy.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx-y = xraizy
Este é um caso de equação de Bernoulli, que tem a forma
dydx+P(x),y = Q(x),y^n
Para resolvê-la, vamos identificar P, Q e n e usar a substituição usual para Bernoulli:
u = y^1-n

Passo 2

Reescrevendo a equação no formato de Bernoulli, temos
dydx +(-1),y = x,y^1/2,
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P(x) = -1, Q(x)=x, n=tfrac12

Passo 3

Dividimos ambos os lados por y^1/2 para linearizar via u=y^1-n=y^1/2:
1y^1/2dydx - y^1/2 = x
Como
u = y^1/2 Longrightarrow dudx = 12,y^-1/2,dydx Longrightarrow y^-1/2dydx = 2dudx,
a equação vira
2dudx - u = x

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão de equação linear em u:
dudx - 12,u = x2
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral -tfrac12,dxr) = e^-x/2
Multiplicando tudo por mu(x):
e^-x/2dudx - 12,e^-x/2u = x2,e^-x/2,
e o lado esquerdo é
ddxl(u,e^-x/2r) = x2,e^-x/2

Passo 5

Integramos em relação a x:
u,e^-x/2 = integral x2,e^-x/2,dx + C
Fazendo integração por partes em integral x e^-x/2dx obtém-se
integral x2e^-x/2dx = -x e^-x/2-2e^-x/2+C1
Logo
u,e^-x/2 = -x e^-x/2 -2e^-x/2 + C Longrightarrow u = -x -2 + C,e^x/2

Passo 6

Voltando à variável original y, lembrando que u=y^1/2:
raizy = C,e^x/2 - x - 2 Longrightarrow y = l(C,e^x/2 - x - 2r)^2

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = l(C,e^x/2 - x - 2r)^2,
onde C é constante de integração.

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