Resolver a equação de Bernoulli
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Este é um caso de equação de Bernoulli, que tem a forma
Para resolvê-la, vamos identificar
,
e
e usar a substituição usual para Bernoulli:
Passo 2
Reescrevendo a equação no formato de Bernoulli, temos
logo
Passo 3
Dividimos ambos os lados por
para linearizar via
:
Como
a equação vira
Passo 4
Reescrevendo em forma padrão de equação linear em
:
O fator integrante é
Multiplicando tudo por
:
e o lado esquerdo é
Passo 5
Integramos em relação a
:
Fazendo integração por partes em
obtém-se
Logo
Passo 6
Voltando à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é constante de integração.