Uma função f:] a, b[ R é uniformemente diferenciável se f é derivável em ] a, b[e forall varepsilon>0, exists de<a>0 tal que |x-y|<de<a e x, y in] a, b[ implica em:
|f(x)-f(y)x-y-f^prime(x)|<varepsilon
Assim:
Prove que se f é uniformemente diferenciável, então f é contínua. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma função f: ]a, b[ R que é uniformemente diferenciável. Nosso objetivo é provar que, se uma função é uniformemente diferenciável, então ela também é contínua. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de diferenciabilidade uniforme e continuidade, e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser continuas. Uma função f é contínua em um ponto c se, para todo varepsilon > 0 , existe um de<a > 0 tal que sempre que |x - c| < de<a , então |f(x) - f(c)| < varepsilon .

Passo 3

Agora, sabemos que f é uniformemente diferenciável em ]a, b[ . Isso quer dizer que f é derivável em todo ponto desse intervalo e que a diferença |f(x)-f(y)x-y - f^prime(x)| pode ser tornada menor que qualquer varepsilon > 0 escolhendo um de<a > 0 apropriado, independente de onde x e y estão no intervalo.

Passo 4

Para provar que f é contínua, vamos fixar um ponto c in ]a, b[ e mostrar que limx to c f(x) = f(c) . Ou seja, queremos que para todo varepsilon > 0 , exista um de<a > 0 tal que se |x - c| < de<a , então |f(x) - f(c)| < varepsilon .

Passo 5

Vamos usar a definição de uniformemente diferenciável. Como f é uniformemente diferenciável, para o varepsilon > 0 dado, existe um de<a > 0 tal que se |x - c| < de<a e c está em ]a, b[ , temos:
|f(x)-f(c)x-c - f^prime(c)| < varepsilon2

Passo 6

Rearranjando a desigualdade:
|f(x)-f(c)x-c| < |f^prime(c)| + varepsilon2
Multiplicando ambos os lados por |x - c| :
|f(x) - f(c)| < (|f^prime(c)| + varepsilon2) |x - c|

Passo 7

Escolhemos de<a pequeno o suficiente para que |x - c| < de<a também satisfaça (|f^prime(c)| + varepsilon2) |x - c| < varepsilon . Portanto, temos:
|f(x) - f(c)| < varepsilon
Isso mostra que f é contínua em c .

Resposta

Assim, provamos que se f é uniformemente diferenciável em ]a, b[ , então f é contínua em todo ponto desse intervalo.

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