Uma função é uniformemente diferenciável se é derivável em tal que e implica em:
Assim:
Prove que se f é uniformemente diferenciável, então f é contínua. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma função f: ]a, b[ R que é uniformemente diferenciável. Nosso objetivo é provar que, se uma função é uniformemente diferenciável, então ela também é contínua. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de diferenciabilidade uniforme e continuidade, e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser continuas. Uma função f é contínua em um ponto c se, para todo varepsilon > 0 , existe um de<a > 0 tal que sempre que |x - c| < de<a , então |f(x) - f(c)| < varepsilon .
Passo 3
Agora, sabemos que f é uniformemente diferenciável em ]a, b[ . Isso quer dizer que f é derivável em todo ponto desse intervalo e que a diferença |f(x)-f(y)x-y - f^prime(x)| pode ser tornada menor que qualquer varepsilon > 0 escolhendo um de<a > 0 apropriado, independente de onde x e y estão no intervalo.
Passo 4
Para provar que f é contínua, vamos fixar um ponto c in ]a, b[ e mostrar que limx to c f(x) = f(c) . Ou seja, queremos que para todo varepsilon > 0 , exista um de<a > 0 tal que se |x - c| < de<a , então |f(x) - f(c)| < varepsilon .
Passo 5
Vamos usar a definição de uniformemente diferenciável. Como f é uniformemente diferenciável, para o varepsilon > 0 dado, existe um de<a > 0 tal que se |x - c| < de<a e c está em ]a, b[ , temos: