Determine se r(t) é contínua em t=0.
r(t)=t^2 i+1 / t j+t k

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
r(t)=t^2,i+1t,j+t,k
e pede para determinar se r(t) é contínua em t=0. O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial, que se verifica componete a componente.

Passo 2

Uma função vetorial r(t)=(f1(t),f2(t),f3(t)) é contínua em t=0 se, e somente se, cada componente fi(t) estiver definida em t=0 e
limtto0fi(t)=fi(0)
para i=1,2,3.

Passo 3

As componentes de r(t) são
f1(t)=t^2, f2(t)=1t, f3(t)=t
  • f1(t)=t^2 é contínua em 0 e f1(0)=0.
  • f3(t)=t é contínua em 0 e f3(0)=0.
  • f2(t)=tfrac1t não está definida em t=0 e limtto0tfrac1t não existe (diverge).
Como a segunda componente falha em estar definida e não admite limite finito em 0, a função vetorial r(t) não pode ser contínua em t=0.

Resposta

r(t) não é contínua em t=0.

Exercícios relacionados