Determine se r(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
6.
r(t)=e^t 1+cossec t k

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
r(t)=e^t1+cossect,k
e pede para verificar continuidade em t=0. Lembrando que uma função vetorial r(t)=(r1(t),r2(t),r3(t)) é contínua em t0 se e somente se cada componente ri(t) for contínua em t0 e estiver definida em t0.

Passo 2

Vamos analisar as componentes de r(t):
– A parte e^t1 é polinomial-exponencial em cada componente (p.ex.\ e^t), logo definida e contínua para todo t, inclusive em t=0.
– A parte csc t é 1sin t. O domínio da função csc t exige sin t neq 0. Em particular, sin 0 = 0 implica que csc 0 não está definido.

Passo 3

Como a componente cossect não está definida em t=0, a função vetorial r(t) também não está definida em t=0. Logo não faz sentido falar em limite igual ao valor em t=0, e r(t) não é contínua em t=0.

Resposta

r(t) não é contínua em t=0, pois a componente cossect não está definida nesse ponto e, portanto, r(0) não existe.

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