1. lim t 1(3t^2 1+ln tt^2-1 j+sen 2 t k)

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando tto1, de uma função vetorial
r(t)=3t^2i +ln tt^2-1j +sen(2t),k
Para isso, vamos calcular o limite de cada componente separadamente: a componente em i, em j e em k.

Passo 2

Calcular
limtto13t^2
Como é uma função contínua em t=1, basta substituir:
limtto13t^2 =31^2 =3

Passo 3

Calcular
limtto1ln tt^2-1
Aqui, ao substituir t=1, obtemos forma indeterminada 0/0. Aplicamos a regra de L’Hopital: derivamos numerador e denominador em relação a t:
num'=ddt(ln t)=1t, den'=ddt(t^2-1)=2t
Logo,
limtto1ln tt^2-1 =limtto11t2t =limtto112t^2 =12

Passo 4

Calcular
limtto1sen(2t)
Como seno é contínuo, basta substituir t=1:
limtto1sen(2t) =sen(2cdot1) =sen(2)

Resposta

3,i +12,j +sen(2),k

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