Determine se r(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
(a) r(t)=e^t 1+cossec t k

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
r(t)=e^t1+csc t, k
e pede para verificar se ela é contínua em t=0. O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial: para ser contínua em t=0 é preciso que (i) r(0) exista e (ii) limtto0 r(t)= r(0).

Passo 2

Note que csc t=1/sin t não está definida em t=0, pois sin0=0. Logo r(0) não existe, o que já impede a continuidade em t=0, pois um requisito é que o valor da função no ponto pertença ao domínio.

Passo 3

Mesmo que tentássemos avaliar o limite, as duas primeiras componentes de r(t) vêm de e^t1=(e^t,e^t,e^t), que tende a (1,1,1), mas a terceira componente é csc t e
limtto0csc t=pminfty,
ou seja, o limite não existe em R^3. Portanto falha também a existência do limite.

Resposta

r(t) não é contínua em t=0.

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