Determine o valor de y0 in R de modo que a solução y=y(t) do problema
l y^prime=y^2 y(0)=y0
satisfaça y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de
satisfaça e , integrar, aplicar as condições iniciais e finais para determinar .

Passo 2

Separamos variáveis e integramos:
integral dyy^2 = integral dt
Como integral y^-2dy = -y^-1, obtemos
-1y = t + C,
onde C é constante de integração. Isolando y,
y(t) = -1t + C

Passo 3

Aplicamos a condição y(0)=y0:
y(0) = -10 + C = y0 Longrightarrow C = -1y0
Substituindo em y(t),
y(t) = -1t - tfrac1y0 = 1tfrac1y0 - t

Passo 4

Agora impomos y(1)=1:
1 = y(1) = 1tfrac1y0 - 1 Longrightarrow tfrac1y0 - 1 = 1 Longrightarrow 1y0 = 2 Longrightarrow y0 = tfrac12

Resposta

y0 = tfrac12

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