Determine se r(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
(b) r(t)=5 i-(raizt+1) j+e^2 t k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetor
r(t)=5,i - l(raizt+1r),j + e^2t,k
é contínua em t=0. O conteúdo é continuidade de funções vetoriais, que se reduz à continuidade de cada componente.

Passo 2

Lembrando que r(t) é contínua em t=0 se
limtto0r(t)=r(0)
Como r(t) tem componentes escalares, basta verificar se cada componente é contínua em t=0.

Passo 3

Verificamos o domínio de cada componente em torno de t=0:
  • A componente x(t)=5 é constante, logo contínua em todo t.
  • A componente y(t)=-raizt+1 exige t+1>=0, ou seja t>=-1. Como 0>=-1, o ponto t=0 está no domínio e raizt+1 é contínua em t=0.
  • A componente z(t)=e^2t é uma exponencial, contínua em todo R, portanto em t=0.

Passo 4

Como cada componente é contínua em t=0, temos
limtto0x(t)=x(0)=5, limtto0y(t)=y(0)=-raiz0+1=-1, limtto0z(t)=z(0)=e^0=1
Logo
limtto0r(t) =5,i -1,j +1,k =r(0)

Resposta

Sim. r(t) é contínua em t=0 porque cada componente escalar é contínua em t=0, garantindo limtto0r(t)=r(0).

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