Determine se f é continua em 1. Justifique sua resposta (não precisa justificar o cálculo dos limites).
f(x)= 1-x & se x<0 x^2+3 & se 0 <= x<1 1 & se x=1 5-x & se 1<x<2 x-1 & se x >= 2

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 1 - x, & x<0, x^2 + 3, & 0 <= x < 1, 1, & x = 1, 5 - x, & 1 < x < 2, x - 1, & x >= 2,
e pede para decidir se f é contínua em x=1. Para isso usamos o conceito de continuidade: \emph{ f é contínua em a se e somente se limxto af(x)=f(a)}. Num ponto de quebra de definição como x=1, precisamos checar os limites laterais e compará-los a f(1).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda, limxto1^-f(x). Para x<1, mas próximo de 1, vale o ramo
f(x)=x^2+3,
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limxto1^-f(x)=1^2+3=4

Passo 3

Calculamos o limite pela direita, limxto1^+f(x). Para x>1, mas próximo de 1, vale o ramo
f(x)=5 - x,
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limxto1^+f(x)=5 - 1=4

Passo 4

Como limxto1^-f(x)=4 e limxto1^+f(x)=4, o limite limxto1f(x) existe e vale 4.

Passo 5

Por definição, f seria contínua em x=1 se limxto1f(x)=f(1). Mas f(1)=1 e limxto1f(x)=4, e esses valores são diferentes, portanto, f não é contínua em x=1.

Resposta

f não é contínua em x=1.

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