Uma função f(x) definida sobre o intervalo [-1,1] tem primitiva F(x). Assuma que F(-1)=8 e F(1)=7. Qual das afirmaçães é verdadeira? Justifique sua resposta.
F(x) é uma função crescente.

Passo 1

O enunciado dá uma função f com primitiva F em [-1,1] e fornece F(-1)=8 e F(1)=7. Vamos usar o Teorema do Valor Médio de Lagrange para derivadas, que diz que existe cin(-1,1) tal que
F'(c)=F(1)-F(-1)1-(-1)

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio,
F'(c) =7-81-(-1) =-12 =-tfrac12<0
Isso significa que existe cin(-1,1) com F'(c)=f(c)<0.

Passo 3

Se F fosse crescente em [-1,1], teríamos F'(x)>=0 para todo x no intervalo. Mas encontramos F'(c)<0, logo F não pode ser crescente em todo o intervalo.

Resposta

A afirmação “ F(x) é uma função crescente” é falsa.

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