Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
integralraizx^x^3 raizt cos (t) d t

Passo 1

A gente tem a função F dada por uma integral com limites que dependem de x, isso é exatamente o que o Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 mais a Regra da Cadeia resolve. O conteúdo é Teorema Fundamental do Cálculo com limites variáveis. Vamos precisar identificar o integrando f(t) e as funções limite inferior a(x) e limite superior b(x). Aqui f(t)= raiztcos t, a(x)= raizx e b(x)= x^3.

Passo 2

Aplique a fórmula de derivação de integral com limites variáveis:
ddxintegrala(x)^b(x)f(t),dt ,=, fl(b(x)r),b'(x) ,-, fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Calcule as derivadas dos limites:
• b’(x)= 3x^2.
• a’(x)= 12x^-1/2.

Passo 4

Substitua f, b e a na fórmula:
• f(b(x))= raizx^3cos(x^3)=x^3/2cos(x^3).
• f(a(x))= raizraizxcos(raizx)=x^1/4cos(raizx).

Passo 5

Então
F'(x)=x^3/2cos(x^3)cdot3x^2 ;- x^1/4cos(raizx)cdot12x^-1/2

Passo 6

Simplifique a expressão:
• Primeiro termo: 3x^2cdot x^3/2=3x^7/2.
• Segundo termo: x^1/4cdot x^-1/2=x^-1/4, ficando tfrac12x^-1/4cos(raizx).

Resposta

F'(x)=3x^7/2cos(x^3)-tfrac12x^-1/4cos(raizx)

Exercícios relacionados