Se R for uma região plana qualquer á qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área A de R é dada pela formula
A=12 ointpartial R-y dx+x dy
Use a fórmula (*) para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
y=0, x+y=a(a>0), x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando o Teorema de Green, a área de uma região plana R satisfaz a fórmula em contorno
A=12ointpartial R(-y,dx + x,dy) Em seguida, aplicar essa fórmula às curvas y=0, x+y=a e x=0 para determinar a área da região triangular gerada. Para isso vamos precisar do enunciado do Teorema de Green e de uma escolha adequada dos campos P e Q.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para um campo vetorial (P,Q) e região R com fronteira partial R orientada positivamente vale
ointpartial RP,dx + Q,dy = integral duplaRl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr)dA Se escolhermos
P = - y2, Q = x2, então
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 12 -l(-12r)=1 Logo
A = integral duplaR1,dA = ointpartial Rl(P,dx+Q,dyr)=12ointpartial R(-y,dx + x,dy), como queríamos.

Passo 3

A região R é o triângulo com vértices
(0,0)to(a,0)to(0,a) e volta a (0,0), orientado no sentido anti-horário. Vamos quebrar partial R em três trechos:
- C1: de (0,0) a (a,0) sobre y=0.
- C2: de (a,0) a (0,a) sobre a reta x+y=a
- C3: de (0,a) a (0,0) sobre x=0

Passo 4

Nos trechos C1 e C3 um dos diferenciais dx ou dy é zero e o integrando -y,dx+x,dy anula-se. Assim, só resta o trecho C2. Parametrizamos por tin[0,1]:
x(t)=a(1-t), y(t)=at,
dx=-a,dt, dy=a,dt Substituindo em -y,dx+x,dy:
-y,dx + x,dy = -(at)(-a,dt) + (a(1-t))(a,dt) = a^2,dt

Passo 5

Logo a integral de contorno dá
A=12ointpartial R(-y,dx + x,dy)=12integral0^1 a^2,dt = a^22

Resposta

\displaystyle \frac{a^2}{2}

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