Se
for uma região plana qualquer á qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área
de
é dada pela formula
Use a fórmula
para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando o Teorema de Green, a área de uma região plana R satisfaz a fórmula em contorno
Passo 2
Pelo Teorema de Green, para um campo vetorial
e região R com fronteira
orientada positivamente vale
Passo 3
A região R é o triângulo com vértices
-
-
-
Passo 4
Nos trechos
e
um dos diferenciais
ou
é zero e o integrando
anula-se. Assim, só resta o trecho
. Parametrizamos por
:
Passo 5
Logo a integral de contorno dá
Resposta
\displaystyle \frac{a^2}{2}