Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo que vamos usar é decomposição em frações parciais e soma telescópica (ou comparação com a série harmônica).
Passo 2
Vamos decompor o termo geral por frações parciais:
Multiplicando por
fica
Comparando coeficientes obtemos
Logo
Passo 3
Definindo a soma parcial
observe que
onde
é o
-ésimo número harmônico. Portanto
Passo 4
Sabemos que
quando
. Logo
Isso mostra que a soma parcial não converge a um valor finito, ou seja, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.