Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
\sum \frac{n+2}{n(n+1)}\'

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n(n+1)}.
O conteúdo que vamos usar é decomposição em frações parciais e soma telescópica (ou comparação com a série harmônica).

Passo 2

Vamos decompor o termo geral por frações parciais:
\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}.
Multiplicando por n(n+1) fica
n+2 = A(n+1) + Bn = (A+B)\,n + A.
Comparando coeficientes obtemos
A+B = 1,\quad A = 2\quad\Longrightarrow\quad B = -1.
Logo
\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Definindo a soma parcial
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \Bigl(\frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}\Bigr) = 2\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n} \;-\;\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1},
observe que
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1} = \sum_{k=2}^{N+1}\frac{1}{k} = \Bigl(\sum_{k=1}^{N+1}\frac{1}{k}\Bigr) - 1 = H_{N+1} - 1,
onde H_{m}=\sum_{k=1}^{m}1/k é o m-ésimo número harmônico. Portanto
S_{N} = 2\,H_{N} \;-\;(H_{N+1}-1) = 2H_{N} - H_{N} - \frac{1}{N+1} + 1 = H_{N} + 1 - \frac{1}{N+1}.

Passo 4

Sabemos que H_{N}\to\infty quando N\to\infty. Logo
S_{N} = H_{N} + 1 - \frac{1}{N+1} \longrightarrow \infty.
Isso mostra que a soma parcial não converge a um valor finito, ou seja, a série diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n(n+1)}
diverge.

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