Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
\sum \frac{n+1}{n^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^{2}}
converge ou diverge. Vamos usar conhecimento de séries p (para p=1 e p=2) e o fato de que, se uma série se decompõe em duas e uma delas diverge, a série original também diverge.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma que fique mais claro quais séries aparecem:
\frac{n+1}{n^{2}} = \frac{n}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}.
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Aplicamos o teste das séries p:
  • \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a série harmônica p=1 e sabemos que ela diverge.
  • \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma p-série com p=2>1 e, portanto, converge.
    Como a soma de duas séries em que uma diverge é divergente, a série original diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^{2}} diverge.

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