Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por:
(-1)^{n} \frac{1}{n+3}

Passo 1

O enunciado dá a série cujo termo geral é a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{1}{n+3} e pede para determinar se a série converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{1}{n+3}.
  • A parte com sinal está em (-1)^{n}, ou seja, os sinais dos termos alternam.
  • A parte de módulo (magnitude) dos termos é b_{n}=\dfrac{1}{n+3}, que é positiva para todo n.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar os conceitos que usaremos (lista didática):
  • Definição de convergência absoluta: Uma série \sum a_{n} converge absolutamente se a série dos módulos \sum |a_{n}| converge. Aqui |a_{n}| = b_{n} = \dfrac{1}{n+3}.
  • Definição de convergência condicional: A série \sum a_{n} converge condicionalmente se \sum a_{n} converge, mas \sum |a_{n}| diverge.
  • Teste de Leibniz (teste da série alternada): Se \{b_{n}\} é uma sequência de termos positivos tal que
    1. b_{n+1}\le b_{n} para todo n suficientemente grande (ou para todo n), isto é, b_{n} é monotona não crescente; e
    2. \lim_{n\to\infty} b_{n}=0,
      então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_{n} converge.
      Explicação curta do porquê: a soma parcial de uma série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero forma uma sequência de somas que ficam confinadas em intervalos que se encurtam para um ponto limite — por isso converge. (Não é preciso o teorema completo aqui, só os dois requisitos.)

Passo 3

Aplicando o teste de Leibniz para verificar convergência da série \sum a_{n}=\sum (-1)^{n}\dfrac{1}{n+3}.
  • Definimos b_{n}=\dfrac{1}{n+3}, que é exatamente |a_{n}|.
  • Verificar monotonicidade: para todo n\ge1, b_{n+1}=\frac{1}{n+4}\le\frac{1}{n+3}=b_{n},porque n+4>n+3 e a função x\mapsto 1/x é decrescente para x>0. Logo b_{n} é monotona não crescente.
  • Verificar limite: calcular \lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+3}=0,pois o denominador tende a infinito.
    Como ambas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, concluímos que a série \sum (-1)^{n}\dfrac{1}{n+3} converge.

Passo 4

Agora testamos convergência absoluta: considerar a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+3}.
Para ver se essa série converge ou diverge vamos comparar com a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que é conhecida por divergir (uma justificativa rápida: pelo teste da integral, \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx=\infty, então \sum 1/n diverge).
Usamos o teste da comparação limite (limit comparison test) com c_{n}=\dfrac{1}{n}. Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\,\dfrac{1}{n+3}\,}{\,\dfrac{1}{n}\,} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+3} =1.
Como o limite é um número finito e positivo (igual a 1), a série \sum \dfrac{1}{n+3} tem o mesmo comportamento de convergência que \sum \dfrac{1}{n}. Como \sum \dfrac{1}{n} diverge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+3}
também diverge. Portanto a série dos módulos diverge e a série não converge absolutamente.

Passo 5

Interpretação final: demonstramos que a série original \sum (-1)^{n}\dfrac{1}{n+3} converge (pelo teste de Leibniz) mas que a série dos módulos \sum \dfrac{1}{n+3} diverge (por comparação com a harmônica). Logo a convergência da série original não é absoluta, é condicional.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n+3} converge condicionalmente.

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