Determine a convergência absoluta ou condicional das séries
cujos termos genéricos
são dados por:
Passo 1
O enunciado dá a série cujo termo geral é
e pede para determinar se a série converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - A parte com sinal está em
, ou seja, os sinais dos termos alternam. - A parte de módulo (magnitude) dos termos é
, que é positiva para todo .
Passo 2
Vamos lembrar e explicar os conceitos que usaremos (lista didática):
- Definição de convergência absoluta: Uma série
converge absolutamente se a série dos módulos converge. Aqui . - Definição de convergência condicional: A série
converge condicionalmente se converge, mas diverge. - Teste de Leibniz (teste da série alternada): Se
é uma sequência de termos positivos tal que -
para todo suficientemente grande (ou para todo ), isto é, é monotona não crescente; e -
,
então a série alternadaconverge.
Explicação curta do porquê: a soma parcial de uma série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero forma uma sequência de somas que ficam confinadas em intervalos que se encurtam para um ponto limite — por isso converge. (Não é preciso o teorema completo aqui, só os dois requisitos.)
-
Passo 3
Aplicando o teste de Leibniz para verificar convergência da série
.
- Definimos
, que é exatamente . - Verificar monotonicidade: para todo
, porque e a função é decrescente para . Logo é monotona não crescente. - Verificar limite: calcular
pois o denominador tende a infinito.
Como ambas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, concluímos que a sérieconverge.
Passo 4
Agora testamos convergência absoluta: considerar a série dos módulos
Para ver se essa série converge ou diverge vamos comparar com a série harmônica
, que é conhecida por divergir (uma justificativa rápida: pelo teste da integral,
, então
diverge).
Usamos o teste da comparação limite (limit comparison test) com . Calculamos o limite
Usamos o teste da comparação limite (limit comparison test) com
Como o limite é um número finito e positivo (igual a
), a série
tem o mesmo comportamento de convergência que
. Como
diverge, segue que
também diverge. Portanto a série dos módulos diverge e a série não converge absolutamente.
Passo 5
Interpretação final: demonstramos que a série original
converge (pelo teste de Leibniz) mas que a série dos módulos
diverge (por comparação com a harmônica). Logo a convergência da série original não é absoluta, é condicional.
Resposta
A série
converge condicionalmente.