Dizer, em cada item abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove, se for falsa dar um contra-exemplo:
Se
e
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de somas parciais
e informa que
A pergunta é: a partir disso, é verdade ou falso que
Lista das informações relevantes:
- Conheço a sequência
(as somas parciais) e sei que . - A incógnita é o comportamento da sequência
dos termos isolados: se ela converge para .
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
de forma precisa (definição
-
).
Definição: dizer que
significa que
para todo existe
tal que, para todo
,
para todo
Isto quer dizer: os termos
ficam arbitrariamente próximos de
quando
é suficientemente grande.
Passo 3
Relacionamento entre
e
. Note que, para
,
(Isto vem direto da definição de
: subtraindo
de
sobra
.)
Portanto, entender o limite de é entender o limite da diferença entre dois termos consecutivos de
.
Portanto, entender o limite de
Passo 4
Argumento heurístico simples: se
e também
quando
, então a diferença
deve tender a
. Agora fazemos isso de forma rigorosa com
-
.
Prova rigorosa (epsilon-proof):
Seja . Como
, existe
tal que, para todo
,
Seja
Agora tome qualquer
tal que
. Então
e, em particular,
e
. Assim tanto
quanto
satisfazem a desigualdade acima. Calculamos:
Portanto, para todo
existe
tal que, para todo
,
. Isso é exatamente a definição de
Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Observação adicional (muito útil na prova/na prova da prova): o que demonstramos é uma instância do fato geral: se
converge, então a diferença entre termos consecutivos tende a zero. Em termos de séries, isso diz: se a soma das parcelas converge (soma total finita), então as parcelas individuais têm que tender a zero.
Importante: o recíproco é falso. Ou seja,
não garante que
converge. Contra-exemplo clássico: tome
Aqui
, mas as somas parciais
formam a série harmônica que diverge (pode-se ver a divergência agrupando termos:
, cada agrupamento é
, logo a soma cresce sem limite).
Passo 6
Resumo curto e ânimo: a afirmação pedida é verdadeira e a prova é curta e direta usando que
e a definição de limite. Lembra que, na prova, o truque é sempre reescrever o termo isolado como diferença de somas parciais e usar o argumento
-
. Força aí — você consegue!
Resposta
Verdadeira.