Dizer, em cada item abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove, se for falsa dar um contra-exemplo:
Se A_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, n=1,2 \cdots e \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=1 então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de somas parciais
A_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n,\qquad n=1,2,\dots
e informa que
\lim_{n\to\infty} A_n = 1.
A pergunta é: a partir disso, é verdade ou falso que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0 ?
Lista das informações relevantes:
  • Conheço a sequência \big(A_n\big) (as somas parciais) e sei que \lim_{n\to\infty} A_n=1.
  • A incógnita é o comportamento da sequência \big(a_n\big) dos termos isolados: se ela converge para 0.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa \lim_{n\to\infty} A_n = 1 de forma precisa (definição \varepsilon- N).
Definição: dizer que \lim_{n\to\infty} A_n = 1 significa que
para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|A_n-1|<\varepsilon.
Isto quer dizer: os termos A_n ficam arbitrariamente próximos de 1 quando n é suficientemente grande.

Passo 3

Relacionamento entre A_n e a_n. Note que, para n\ge 2,
a_n = A_n - A_{n-1}.
(Isto vem direto da definição de A_n: subtraindo A_{n-1}=a_1+\cdots+a_{n-1} de A_n sobra a_n.)
Portanto, entender o limite de a_n é entender o limite da diferença entre dois termos consecutivos de \big(A_n\big).

Passo 4

Argumento heurístico simples: se A_n\to 1 e também A_{n-1}\to 1 quando n\to\infty, então a diferença A_n-A_{n-1} deve tender a 1-1=0. Agora fazemos isso de forma rigorosa com \varepsilon- N.
Prova rigorosa (epsilon-proof):
Seja \varepsilon>0. Como \lim_{m\to\infty} A_m = 1, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo m\ge N,
|A_m-1|<\frac{\varepsilon}{2}.
Agora tome qualquer n tal que n>N. Então n\ge N+1 e, em particular, n\ge N e n-1\ge N. Assim tanto A_n quanto A_{n-1} satisfazem a desigualdade acima. Calculamos:
|a_n| = |A_n - A_{n-1}| = |(A_n-1) - (A_{n-1}-1)| \le |A_n-1| + |A_{n-1}-1| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>N, |a_n|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Observação adicional (muito útil na prova/na prova da prova): o que demonstramos é uma instância do fato geral: se \big(A_n\big) converge, então a diferença entre termos consecutivos tende a zero. Em termos de séries, isso diz: se a soma das parcelas converge (soma total finita), então as parcelas individuais têm que tender a zero.
Importante: o recíproco é falso. Ou seja, \lim_{n\to\infty} a_n = 0 não garante que \sum a_n converge. Contra-exemplo clássico: tome
a_n = \frac{1}{n}.
Aqui \lim_{n\to\infty} a_n = 0, mas as somas parciais A_n = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots + \tfrac{1}{n} formam a série harmônica que diverge (pode-se ver a divergência agrupando termos: 1 + \tfrac12 + (\tfrac13+\tfrac14) + (\tfrac15+\cdots+\tfrac18)+\cdots, cada agrupamento é \ge \tfrac12, logo a soma cresce sem limite).

Passo 6

Resumo curto e ânimo: a afirmação pedida é verdadeira e a prova é curta e direta usando que a_n=A_n-A_{n-1} e a definição de limite. Lembra que, na prova, o truque é sempre reescrever o termo isolado como diferença de somas parciais e usar o argumento \varepsilon- N. Força aí — você consegue!

Resposta

Verdadeira.

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