Determine a convergência ou divergência de cada uma das séries.
sumn=1^infty 2^3 n+1n^n

Passo 1

Estamos lidando com a série de termos positivos
sumn=1^infty an, an = 2^3n+1n^n
Como os termos são positivos, podemos usar o teste da raiz (Critério de Cauchy) para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Vamos calcular a raiz enésima de an:
raiz[n]an = raiz[n]2^3n+1n^n = 2^3 + tfrac1nn = 8 cdot 2^1/nn

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando n to infty:
limntoinfty raiz[n]an = limntoinfty 8 cdot 2^1/nn = 8 cdot 1infty = 0
Como esse limite L = 0 < 1, o teste da raiz garante convergência absoluta da série.

Passo 4

Portanto, pela convergência absoluta, concluímos que a série
sumn=1^infty 2^3n+1n^n
é convergente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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