Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty(-1)^n n+2n(n+1)

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^nn+2n(n+1)
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo: testes de convergência de séries, em especial convergência absoluta e critério de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Analisamos primeiro a convergência absoluta, ou seja, a série
sumn=1^infty|(-1)^n(n+2)n(n+1)| =sumn=1^inftyn+2n(n+1)
Note que
n+2n(n+1) =n+1+1n(n+1) =1n+1n(n+1)sim1n quando ntoinfty
Como sum1/n diverge (série harmônica), pela comparação assintótica concluímos que
sum(n+2)/[n(n+1)] também diverge.
Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternante
sum(-1)^nbn com
bn=n+2n(n+1)>0
(1) Verificamos o limite
limntoinftybn =limntoinftyn+2n^2+n =0
(2) Mostramos que bn é decrescente para todo n>=1. Calculemos
bn-bn+1 =n+2n(n+1)-n+3(n+1)(n+2) =n+4n(n+1)(n+2)>0
Logo bn>bn+1. Como bnsearrow0 e a série é alternante, pelo critério de Leibniz ela converge. Juntando com o fato de não convergir absolutamente, concluímos convergência condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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