Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado nos pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo: testes de convergência de séries, em especial convergência absoluta e critério de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Analisamos primeiro a convergência absoluta, ou seja, a série
Note que
n+2n(n+1) =n+1+1n(n+1) =1n+1n(n+1)sim1n quando ntoinfty
Como sum1/n diverge (série harmônica), pela comparação assintótica concluímos que sum(n+2)/[n(n+1)] também diverge.
Portanto, a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternante sum(-1)^nbn com
bn=n+2n(n+1)>0
(1) Verificamos o limite
limntoinftybn =limntoinftyn+2n^2+n =0
(2) Mostramos que bn é decrescente para todo n>=1. Calculemos
Logo bn>bn+1. Como bnsearrow0 e a série é alternante, pelo critério de Leibniz ela converge. Juntando com o fato de não convergir absolutamente, concluímos convergência condicional.