Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.10 (Séries de Taylor e Maclaurin): 25
Use a série de Maclaurin em Tabela 1 para obter a série de Maclaurin para a função dada.
f(x)=x cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=xcos(2x). Vamos usar a expansão de Maclaurin de cos x (Tabela de séries) e depois fazer as substituições e multiplicação por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos x é
cos x = sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!

Passo 3

Substituindo x por 2x, obtemos
cos(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n2^2nx^2n(2n)!

Passo 4

Multiplicamos essa série por x, chegando a
xcos(2x) =sumn=0^infty(-1)^n2^2nx^2n+1(2n)!

Passo 5

Calculando os primeiros termos (para n=0,1,2,3):
n=0:;2^0x^10!=x,
n=1:;-,2^2x^32!=-4x^32=-2x^3,
n=2:;2^4x^54!=16x^524=tfrac23x^5,
n=3:;-,2^6x^76!=-64x^7720=-tfrac445x^7.

Resposta

xcos(2x) =sumn=0^infty(-1)^n2^2nx^2n+1(2n)! = x - 2x^3 + tfrac23x^5 - tfrac445x^7 + cdots

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