Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.10 (Séries de Taylor e Maclaurin): 38
Use séries de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
integral0^1 / 3 x^2 arctan x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = integral0^1/3 x^2,arctanl(x^2r),dx
com precisão de seis casas decimais, usando séries de potências. Vamos usar a expansão em série de Maclaurin de arctan u e integrar termo a termo.

Passo 2

Lembrando a série de Maclaurin
arctan u = sumn=0^infty(-1)^n,u^2n+12n+1,
substituímos u = x^2 e obtemos
arctanl(x^2r) = sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1
Multiplicando por x^2,
x^2,arctanl(x^2r) = sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+42n+1

Passo 3

Integramos termo a termo no intervalo [0,,1/3]:
I = sumn=0^infty(-1)^n integral0^1/3x^4n+42n+1,dx = sumn=0^infty(-1)^n l(tfrac13r)^4n+5(2n+1),(4n+5)

Passo 4

Para garantir seis casas decimais usamos o critério da série alternada: o erro ao truncar após n=N é menor que o valor absoluto do termo N+1. O termo geral em valor absoluto é
an = l(tfrac13r)^4n+5(2n+1)(4n+5)
Calculando
a0 = tfrac13^5cdot5=tfrac11215approx8,23045times10^-4,
a1 = tfrac13^9cdot27=tfrac1531441approx1,882times10^-6,
a2approx1times10^-8.
Como a2<10^-6, basta somar os termos n=0 e n=1.

Passo 5

O truncamento com n=0,1
I approx 11215 - 1531441 approx 0,000823045 - 0,000001882 =0,000821163,
com erro menor que a2approx10^-8.

Resposta

boxed0,000821

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