Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a convergência da série .
O tema aqui é séries numéricas envolvendo fatoriais, e o instrumento mais direto para esse caso é o teste da razão, que nos informa sobre convergência absoluta.
Passo 2
Defina .
Aplicando o teste da razão, consideramos
Passo 3
Para avaliar esse limite, escrevemos
(n+1)^2n^3 =n^2+2n+1n^3 =1n+2n^2+1n^3,
e, portanto,
limntoinfty(n+1)^2n^3=0
Logo, o valor da razão é L=0<1.
Passo 4
O teste da razão diz que, se L<1, a série converge absolutamente. Assim,