Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty n^3n!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
sumn=1^inftyn^3n!.
O tema aqui é séries numéricas envolvendo fatoriais, e o instrumento mais direto para esse caso é o teste da razão, que nos informa sobre convergência absoluta.

Passo 2

Defina
an = n^3n!.
Aplicando o teste da razão, consideramos
limntoinfty|an+1an| =limntoinftytfrac(n+1)^3(n+1)!tfracn^3n! =limntoinfty(n+1)^3n^3,(n+1) =limntoinfty(n+1)^2n^3

Passo 3

Para avaliar esse limite, escrevemos
(n+1)^2n^3 =n^2+2n+1n^3 =1n+2n^2+1n^3,
e, portanto,
limntoinfty(n+1)^2n^3=0
Logo, o valor da razão é L=0<1.

Passo 4

O teste da razão diz que, se L<1, a série converge absolutamente. Assim,
sumn=1^inftyn^3n!
é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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