Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=8+\frac{5}{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência a_{n} cujo termo geral é
a_{n} = 8 + \frac{5}{n}.
O conteúdo aqui é limite de sequência. Para decidir convergência, vamos usar que o limite de uma soma é a soma dos limites, desde que eles existam, e que \frac{1}{n}\to0 quando n\to\infty.

Passo 2

Considere a sequência b_{n} = \frac{5}{n}. Como o numerador é constante e o denominador cresce sem limite, vale
\lim_{n\to\infty} b_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{5}{n} = 0.

Passo 3

Aplicando a propriedade de limite de soma, temos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} \Bigl(8 + \tfrac{5}{n}\Bigr) = \lim_{n\to\infty} 8 \;+\;\lim_{n\to\infty} \frac{5}{n} = 8 + 0 = 8.
Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 8.

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