Mostre pela definição que as sequências têm o limite indicado e responda a partir de qual termo a sequência estará próxima de \epsilon=10^{-2} do seu limite.
\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(\frac{n}{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} tem limite \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n} = \frac{n}{2n + 1}
e afirma que \lim_{n\to\infty}a_{n} = \tfrac12. O objetivo é provar isso usando a definição de limite de sequência e, em seguida, determinar a partir de qual termo n temos
\bigl|a_{n} - \tfrac12\bigr| < 10^{-2}.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que \lim_{n\to\infty}a_{n}=L se, para todo \epsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_{n}-L\bigr|<\epsilon.
Aqui queremos mostrar que, dado \epsilon>0, podemos escolher N de modo a garantir \bigl|a_{n}-\tfrac12\bigr|<\epsilon.

Passo 3

Calculamos a diferença
\bigl|a_{n}-\tfrac12\bigr| = \Bigl|\frac{n}{2n+1} - \frac12\Bigr| = \Bigl|\frac{2n - (2n+1)}{2(2n+1)}\Bigr| = \frac{1}{4n+2}.

Passo 4

Para impor \frac{1}{4n+2}<\epsilon, resolvemos
4n + 2 > \frac{1}{\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad 4n > \frac{1}{\epsilon}-2 \quad\Longrightarrow\quad n > \frac{\frac{1}{\epsilon}-2}{4}.
Logo, basta escolher
N = \left\lceil \frac{\tfrac1\epsilon - 2}{4}\right\rceil.
Assim, para todo n\ge N, teremos \bigl|a_{n}-\tfrac12\bigr|<\epsilon, provando a convergência a \tfrac12.

Passo 5

Agora, seja \epsilon=10^{-2}. Então
\frac{1}{\epsilon} = 100 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\tfrac1\epsilon -2}{4} = \frac{100-2}{4} = 24{,}5.
Portanto
N = \lceil 24{,}5\rceil = 25.
Isso significa que, para todo n\ge25, vale
\bigl|a_{n}-\tfrac12\bigr| < 10^{-2}.

Resposta

A sequência \bigl(\tfrac{n}{2n+1}\bigr) converge para \tfrac12. Para \epsilon=10^{-2}, a partir de n=25 temos
\bigl|a_{n} - \tfrac12\bigr| < 10^{-2}.

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