Mostre pela definição que as sequências têm o limite indicado e responda a partir de qual termo a sequência estará próxima de \epsilon=10^{-2} do seu limite. \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(\frac{n}{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} tem limite \frac{1}{2}.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n} = \frac{n}{2n + 1}
e afirma que \lim_{n\to\infty}a_{n} = \tfrac12. O objetivo é provar isso usando a definição de limite de sequência e, em seguida, determinar a partir de qual termo n temos
\bigl|a_{n} - \tfrac12\bigr| < 10^{-2}.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que \lim_{n\to\infty}a_{n}=L se, para todo \epsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_{n}-L\bigr|<\epsilon.
Aqui queremos mostrar que, dado \epsilon>0, podemos escolher N de modo a garantir \bigl|a_{n}-\tfrac12\bigr|<\epsilon.