Mostre pela definição que as sequências têm o limite indicado e responda a partir de qual termo a sequência estará próxima de \epsilon=10^{-2} do seu limite. \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(\frac{n+1}{2 n-1}\right)_{n \in \mathbb{N}} tem limite \frac{1}{2}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite, que a sequência
a_n = \frac{n+1}{2n-1}
converge para \tfrac12. Vamos usar o conceito de limite de sequência: para todo \epsilon>0 deve existir N tal que, para todo n\ge N, valha
\lvert a_n - L\rvert < \epsilon,
onde aqui L=\tfrac12.
Passo 2
Calcular a diferença \lvert a_n - \tfrac12\rvert. Temos