Mostre pela definição que as sequências têm o limite indicado e responda a partir de qual termo a sequência estará próxima de \epsilon=10^{-2} do seu limite.
\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(\frac{n+1}{2 n-1}\right)_{n \in \mathbb{N}} tem limite \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite, que a sequência
a_n = \frac{n+1}{2n-1}
converge para \tfrac12. Vamos usar o conceito de limite de sequência: para todo \epsilon>0 deve existir N tal que, para todo n\ge N, valha
\lvert a_n - L\rvert < \epsilon,
onde aqui L=\tfrac12.

Passo 2

Calcular a diferença \lvert a_n - \tfrac12\rvert. Temos
a_n - \tfrac12 = \frac{n+1}{2n-1} - \frac12 = \frac{2(n+1) - (2n-1)}{2(2n-1)} = \frac{3}{4n - 2},
portanto
\lvert a_n - \tfrac12\rvert = \frac{3}{4n-2}.

Passo 3

Queremos garantir
\frac{3}{4n-2} < \epsilon.
Isto equivale a
4n - 2 > \frac{3}{\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad n > \frac{3}{4\epsilon} + \frac12.
Assim, basta escolher
N = \Bigl\lceil \frac{3}{4\epsilon} + \tfrac12\Bigr\rceil
para que todo n\ge N implique \lvert a_n - \tfrac12\rvert<\epsilon. Isso mostra rigorosamente que \lim_{n\to\infty}a_n=\tfrac12.

Passo 4

No caso \epsilon=10^{-2} temos
\frac{3}{4\epsilon} + \frac12 = \frac{3}{4\cdot10^{-2}} + \frac12 = 75 + 0{,}5 = 75{,}5,
logo
N = \lceil75{,}5\rceil = 76.
Isso significa que, a partir de n=76, vale
\bigl\lvert a_n - \tfrac12\bigr\rvert < 10^{-2}.

Resposta

A sequência converge para \tfrac12 e para \epsilon=10^{-2} basta n\ge76.

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