Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{n}{n+1}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é estudo de limite de sequência: se ela tende a um único valor finito, dizemos que converge; caso contrário, diverge.

Passo 2

Primeiro observe a parte não oscilante da sequência, que é
\frac{n}{n+1}.
Como n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+1/n} =1.

Passo 3

Agora considere o fator (-1)^{n}. Para analisar rigorosamente, separe em duas subsequências:
  • Para n=2k (pares):
a_{2k}=(-1)^{2k}\frac{2k}{2k+1} =\frac{2k}{2k+1} \;\longrightarrow\;1.
  • Para n=2k+1 (ímpares):
a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}\frac{2k+1}{2k+2} =-\frac{2k+1}{2k+2} \;\longrightarrow\;-1.

Passo 4

Como as duas subsequências convergem a limites diferentes (uma tende a 1 e outra a -1), não existe um único limite para a_n. Portanto a sequência não converge.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\frac{n}{n+1} diverge.

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