Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o
-ésimo termo dados por
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge.
O tema aqui é limites de sequência e sabemos que a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência. Para tornar isso preciso, vamos usar um teste de razão.
O tema aqui é limites de sequência e sabemos que a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência. Para tornar isso preciso, vamos usar um teste de razão.
Passo 2
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
Como
, temos
, logo
Isto mostra que, a partir de certo
, os termos decrescem de forma semelhante a uma progressão geométrica de razão menor que 1.
Passo 3
Pela propriedade de sequências cujo quociente entre termos tende a um valor menor que 1, concluímos que
quando
. Portanto, a sequência é convergente e seu limite é zero.
Resposta
A sequência converge e