Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=\frac{n^{p}}{e^{n}}, p>0

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n} = \frac{n^{p}}{e^{n}},\quad p>0
e pede para determinar se ela converge ou diverge.
O tema aqui é limites de sequência e sabemos que a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência. Para tornar isso preciso, vamos usar um teste de razão.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)^{p}}{e^{\,n+1}}}{\displaystyle\frac{n^{p}}{e^{\,n}}} = \frac{(n+1)^{p}}{n^{p}}\;\cdot\;e^{-1} = \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{p}\,e^{-1}.
Como n\to\infty, temos \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{p}\to1, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = e^{-1} < 1.
Isto mostra que, a partir de certo n, os termos decrescem de forma semelhante a uma progressão geométrica de razão menor que 1.

Passo 3

Pela propriedade de sequências cujo quociente entre termos tende a um valor menor que 1, concluímos que a_{n}\to0 quando n\to\infty. Portanto, a sequência é convergente e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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